Rasterdaten beschreiben den Raum als regelmäßiges Zellgitter. Jede Zelle trägt einen Wert, zum Beispiel Höhe, Temperatur, Landbedeckung, Entfernung oder Eignung. Rasterbasierte Analyse nutzt diese Zellwerte, um neue räumliche Informationen abzuleiten.
Der besondere Vorteil des Rastermodells liegt darin, dass flächenhafte Muster, kontinuierliche Übergänge, Nachbarschaften und Gradienten zellweise verarbeitet werden können. Dadurch eignen sich Rasterdaten besonders für Höhenmodelle, Distanzflächen, Interpolation, Sichtbarkeit, hydrologische Ableitungen und Multikriterienanalysen.
In den folgenden Abschnitten geht es daher um eine zentrale Frage:
Wie entstehen aus lückenhaften, punktuellen oder primären Geodaten neue flächenhafte Informationen?
Diese Frage wird an mehreren Beispielen entwickelt: Voronoi-Polygone zeigen eine einfache Form distanzbasierter Raumaufteilung, Interpolationen erzeugen kontinuierliche Oberflächen aus Punktmessungen, digitale Geländemodelle liefern abgeleitete Reliefgrößen, Sichtbarkeitsanalysen prüfen räumliche Sichtbeziehungen und prozessbasierte Ableitungen modellieren Fließrichtungen und hydrologische Indizes.
Als Einstieg in die Thematik der Raumanalyse wurde die Integration des einfachsten Raumkonzeptes, der Voronoi-Polygonisierung, gewählt. Sie steht exemplarisch für die Generierung geometrisch fundierter raumkontinuierlicher Interpolationskonzepte. Diese Betrachtung wird anschliessend um einige komplexere Interpolationsverfahren erweitert.
Abstandsbeziehungen: Voronoi-Polygone als einfaches Nähemodell
Wir erweitern nun die bisherigen geometrischen Abfragen um eine andere Form räumlicher Ableitung. Bisher wurden Distanzen vor allem gemessen oder als Puffer verwendet. Bei Voronoi-Polygonen geht es dagegen um die Frage, wie aus einzelnen Punkten flächige Zuordnungsbereiche entstehen können.
Voronoi-Polygone, auch Thiessen-Polygone genannt, teilen einen Raum so auf, dass jede Fläche genau einem Ausgangspunkt zugeordnet wird. Innerhalb einer solchen Fläche liegt jeder Ort näher am zugehörigen Punkt als an jedem anderen Punkt.
Diese Zuordnung beruht auf einer starken Vereinfachung: Der Raum wird als gleichförmig, richtungsneutral und widerstandslos behandelt. Es gibt keine Barrieren, keine unterschiedlichen Wegkosten, keine Topographie, keine Fließrichtungen und keine weiteren Prozessinformationen. Nähe bedeutet hier ausschließlich euklidische Distanz, also direkte Luftlinie.
Damit sind Voronoi-Polygone ein geometrisches Nullmodell. Sie zeigen, welche Raumaufteilung allein aus der Lage der Punkte entsteht, wenn sonst nichts über den Raum bekannt ist. Genau darin liegt ihr didaktischer Wert: Die Methode macht sichtbar, welche Annahme getroffen wird, bevor komplexere Modelle zusätzliche Informationen einbeziehen.
Typische Fragen sind zum Beispiel:
- Welche Fläche wird welcher Niederschlagsstation zugeordnet, wenn nur die nächste Distanz zählt?
- Welche Bereiche liegen jeweils am nächsten zu einer Bodenprobe?
- Welche Wohngebiete wären rechnerisch der nächstgelegenen Schule zugeordnet?
- Welche Flächen werden durch einzelne Messpunkte repräsentiert, solange keine bessere Interpolation oder Prozessinformation vorliegt?
Die Grenze der Methode liegt genau in ihrer Stärke: Sie bildet keine Übergänge zwischen Messwerten ab und modelliert keinen physikalischen Prozess. Sie ordnet Raum nach nächster Distanz. Bei Bodenproben, Messstationen oder Versorgungsstandorten kann diese Annahme als erste Näherung sinnvoll sein. Sobald reale Prozesse aber stark durch Relief, Barrieren, Verkehrswege, Windrichtungen, Wasserfluss oder administrative Zuständigkeiten geprägt sind, muss diese einfache Zuordnung kritisch geprüft oder durch ein passenderes Modell ersetzt werden.
In Bodenkarten können Voronoi-Polygone zum Beispiel als einfache Ableitung aus unregelmäßig verteilten Bodenproben dienen, wenn zwischen den Proben keine weiteren Informationen vorliegen (vgl. Jones 1997, 48). Eine ausführliche methodische Darstellung von Voronoi-Diagrammen findet sich bei Okabe u. a. (2000).
Konstruktion von Voronoi-Polygonen
Voronoi-Polygone entstehen durch eine Abstandsregel. Jeder Ort im Untersuchungsraum wird demjenigen Punkt zugeordnet, zu dem er die geringste Distanz besitzt.
Die Grenze zwischen zwei benachbarten Punkten liegt dort, wo beide Punkte gleich weit entfernt sind. Konstruktiv entspricht diese Grenze der Mittelsenkrechten der Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten. Werden diese Gleichabstandsgrenzen für alle benachbarten Punkte kombiniert, entsteht eine lückenlose Zerlegung des Raumes in Zuordnungszonen.
Abbildung 04-01: Konstruktion von Voronoi-Polygonen. Aus Punktstandorten entstehen über Gleichabstandsgrenzen und die Nächste-Punkt-Regel flächige Zuordnungsflächen.
Man kann Voronoi-Diagramme auch um Linien oder andere Geometrien bilden. Dann entstehen komplexere Formen. In dieser Einheit beschränken wir uns auf den häufigsten und didaktisch klarsten Fall: Voronoi-Polygone aus Punktdaten.
Beispiel: Niederschlagsstationen in der Schweiz
Das folgende Beispiel überträgt dieses Konstruktionsprinzip auf klimatologische Niederschlagsstationen in der Schweiz. Die Punkte stehen für Messstationen. An diesen Orten liegen beobachtete Niederschlagswerte einer Klimanormalperiode vor. Zwischen den Stationen ist der Niederschlag dagegen nicht direkt gemessen.
Die Voronoi-Polygone teilen den Raum deshalb nach nächster Station auf. Jede Fläche wird derjenigen Station zugeordnet, die ihr räumlich am nächsten liegt. Der Stationswert wird anschließend auf die gesamte zugehörige Fläche übertragen.
Damit entsteht eine flächenhafte Darstellung, aber keine echte klimatologische Niederschlagsmodellierung. Die Karte zeigt nicht, wie Niederschlag tatsächlich kontinuierlich über den Raum verteilt ist. Sie zeigt vielmehr, welche Fläche nach der einfachen Nächste-Distanz-Regel welcher Station zugeordnet wird.
Abbildung 04-02: Voronoi-Polygone für klimatologische Niederschlagsstationen in der Schweiz. Jede Fläche wird der nächstgelegenen Station zugeordnet und übernimmt deren Messwert. Die Karte zeigt damit eine geometrische Näherungsfläche auf Basis nächster Distanz, nicht eine physikalisch modellierte Niederschlagsverteilung.
Gerade bei Niederschlag wird die Grenze dieser Methode sichtbar. Niederschlag hängt nicht nur von der Nähe zur nächsten Station ab. Relief, Höhe, Exposition, Luv- und Lee-Lagen, Talräume und großräumige Wetterlagen beeinflussen die räumliche Verteilung erheblich. Deshalb ist es sinnvoll, in der interaktiven Karte zwischen Hintergrundkarten zu wechseln und die Stationsverteilung im Verhältnis zur Topographie zu betrachten.
Achten Sie beim Betrachten der Karte besonders auf folgende Fragen:
- Liegen große Voronoi-Flächen dort, wo das Stationsnetz dünn ist?
- Verändern Gebirge, Täler oder Höhenstufen die Plausibilität der flächenhaften Zuordnung?
- Wirken manche Polygon-Grenzen klimatologisch plausibel oder eher rein geometrisch?
- Welche Stationen repräsentieren sehr große Räume, obwohl Niederschlag dort wahrscheinlich stark variiert?
- Wo wäre eine topographisch informierte Interpolation plausibler als eine reine Nächste-Distanz-Zuweisung?
- Welche Messgröße würde sich besser für eine Voronoi Aufteilung eigenen?
Übung: Voronoi als zellbasierte Näherungszone
Die Voronoi-Idee lässt sich auch rasterbasiert denken. Dann entstehen keine echten Polygone, sondern Zellen werden jeweils dem nächstgelegenen Ausgangspunkt zugeordnet. Dadurch wird sichtbar, dass Voronoi weniger eine Zeichenmethode als eine Abstandsregel ist.